高一高二数学知识点总结（高二数学知识点总结）

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1、一、集合与简易逻辑: 一、理解集合中的有关概念 (1)集合中元素的特征: 确定性 ， 互异性 ， 无序性 。

2、 (2)集合与元素的关系用符号=表示。

3、 (3)常用数集的符号表示:自然数集 ;正整数集 ;整数集 ;有理数集 、实数集 。

4、 (4)集合的表示法: 列举法 ， 描述法 ， 韦恩图 。

5、 (5)空集是指不含任何元素的集合。

6、 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。

7、 二、函数 一、映射与函数: (1)映射的概念: (2)一一映射:(3)函数的概念: 二、函数的三要素:相同函数的判断方法:①对应法则 ;②定义域 (两点必须同时具备) (1)函数解析式的求法: ①定义法(拼凑):②换元法:③待定系数法:④赋值法: (2)函数定义域的求法: ①含参问题的定义域要分类讨论; ②对于实际问题，在求出函数解析式后;必须求出其定义域，此时的定义域要根据实际意义来确定。

8、(3)函数值域的求法: ①配方法:转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值;常转化为型如: 的形式; ②逆求法(反求法):通过反解，用 来表示 ，再由 的取值范围，通过解不等式，得出 的取值范围;常用来解，型如: ; ④换元法:通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想; ⑤三角有界法:转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域; ⑥基本不等式法:转化成型如: ，利用平均值不等式公式来求值域; ⑦单调性法:函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域。

9、 ⑧数形结合:根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域。

10、 三、函数的性质: 函数的单调性、奇偶性、周期性 单调性:定义:注意定义是相对与某个具体的区间而言。

11、 判定方法有:定义法(作差比较和作商比较) 导数法(适用于多项式函数) 复合函数法和图像法。

12、 应用:比较大小，证明不等式，解不等式。

13、 奇偶性:定义:注意区间是否关于原点对称，比较f(x) 与f(-x)的关系。

14、f(x) -f(-x)=0 f(x) =f(-x) f(x)为偶函数; f(x)+f(-x)=0 f(x) =-f(-x) f(x)为奇函数。

15、 判别方法:定义法， 图像法 ，复合函数法 应用:把函数值进行转化求解。

16、 周期性:定义:若函数f(x)对定义域内的任意x满足:f(x+T)=f(x),则T为函数f(x)的周期。

17、 其他:若函数f(x)对定义域内的任意x满足:f(x+a)=f(x-a),则2a为函数f(x)的周期. 应用:求函数值和某个区间上的函数解析式。

18、 四、图形变换:函数图像变换:(重点)要求掌握常见基本函数的图像，掌握函数图像变换的一般规律。

19、 常见图像变化规律:(注意平移变化能够用向量的语言解释，和按向量平移联系起来思考) 平移变换 y=f(x)→y=f(x+a),y=f(x)+b 注意:(ⅰ)有系数，要先提取系数。

20、如:把函数y=f(2x)经过 平移得到函数y=f(2x+4)的图象。

21、 (ⅱ)会结合向量的平移，理解按照向量 (m，n)平移的意义。

22、 对称变换 y=f(x)→y=f(-x),关于y轴对称 y=f(x)→y=-f(x) ,关于x轴对称 y=f(x)→y=f|x|,把x轴上方的图象保留，x轴下方的图象关于x轴对称 y=f(x)→y=|f(x)|把y轴右边的图象保留，然后将y轴右边部分关于y轴对称。

23、(注意:它是一个偶函数) 伸缩变换:y=f(x)→y=f(ωx), y=f(x)→y=Af(ωx+φ)具体参照三角函数的图象变换。

24、 一个重要结论:若f(a-x)=f(a+x)，则函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称; 五、反函数: (1)定义: (2)函数存在反函数的条件:(3)互为反函数的定义域与值域的关系:(4)求反函数的步骤:①将 看成关于 的方程，解出 ，若有两解，要注意解的选择;②将 互换，得 ;③写出反函数的定义域(即 的值域)。

25、 (5)互为反函数的图象间的关系:(6)原函数与反函数具有相同的单调性; (7)原函数为奇函数，则其反函数仍为奇函数;原函数为偶函数，它一定不存在反函数。

26、 七、常用的初等函数: (1)一元一次函数:(2)一元二次函数: 一般式两点式顶点式二次函数求最值问题:首先要采用配方法，化为一般式， 有三个类型题型: (1)顶点固定，区间也固定。

27、如: (2)顶点含参数(即顶点变动)，区间固定，这时要讨论顶点横坐标何时在区间之内，何时在区间之外。

28、 (3)顶点固定，区间变动，这时要讨论区间中的参数. 等价命题 在区间 上有两根 在区间 上有两根 在区间 或 上有一根 注意:若在闭区间 讨论方程 有实数解的情况，可先利用在开区间 上实根分布的情况，得出结果，在令 和 检查端点的情况。

29、 (3)反比例函数: (4)指数函数: 指数函数:y= (a>o,a≠1)，图象恒过点(0，1)，单调性与a的值有关，在解题中，往往要对a分a>1和0o,a≠1) 图象恒过点(1，0)，单调性与a的值有关，在解题中，往往要对a分a>1和00，则 。

30、即不等式两边同号时，不等式两边取倒数，不等号方向要改变。

31、 ②如果对不等式两边同时乘以一个代数式，要注意它的正负号，如果正负号未定，要注意分类讨论。

32、 ③图象法:利用有关函数的图象(指数函数、对数函数、二次函数、三角函数的图象)，直接比较大小。

33、 ④中介值法:先把要比较的代数式与“0”比，与“1”比，然后再比较它们的大小 二、均值不等式:两个数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

34、 基本应用:①放缩，变形; ②求函数最值:注意:①一正二定三相等;②积定和最小，和定积最大。

35、 常用的方法为:拆、凑、平方; 三、绝对值不等式: 注意:上述等号“=”成立的条件; 四、常用的基本不等式: 五、证明不等式常用方法: (1)比较法:作差比较: 作差比较的步骤: ⑴作差:对要比较大小的两个数(或式)作差。

36、 ⑵变形:对差进行因式分解或配方成几个数(或式)的完全平方和。

37、 ⑶判断差的符号:结合变形的结果及题设条件判断差的符号。

38、 注意:若两个正数作差比较有困难，可以通过它们的平方差来比较大小。

39、 (2)综合法:由因导果。

40、 (3)分析法:执果索因。

41、基本步骤:要证……只需证……，只需证…… (4)反证法:正难则反。

42、 (5)放缩法:将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的。

43、 放缩法的方法有: ⑴添加或舍去一些项，⑵将分子或分母放大(或缩小) ⑶利用基本不等式，(6)换元法:换元的目的就是减少不等式中变量，以使问题化难为易，化繁为简，常用的换元有三角换元和代数换元。

44、(7)构造法:通过构造函数、方程、数列、向量或不等式来证明不等式; 十、不等式的解法: (1)一元二次不等式: 一元二次不等式二次项系数小于零的，同解变形为二次项系数大于零;注:要对 进行讨论: (2)绝对值不等式:若 ，则 ; ; 注意:(1)解有关绝对值的问题，考虑去绝对值，去绝对值的方法有: ⑴对绝对值内的部分按大于、等于、小于零进行讨论去绝对值;(2).通过两边平方去绝对值;需要注意的是不等号两边为非负值。

45、 (3).含有多个绝对值符号的不等式可用“按零点分区间讨论”的方法来解。

46、 (4)分式不等式的解法:通解变形为整式不等式; (5)不等式组的解法:分别求出不等式组中，每个不等式的解集，然后求其交集，即是这个不等式组的解集，在求交集中，通常把每个不等式的解集画在同一条数轴上，取它们的公共部分。

47、 (6)解含有参数的不等式: 解含参数的不等式时，首先应注意考察是否需要进行分类讨论.如果遇到下述情况则一般需要讨论: ①不等式两端乘除一个含参数的式子时，则需讨论这个式子的正、负、零性. ②在求解过程中，需要使用指数函数、对数函数的单调性时，则需对它们的底数进行讨论. ③在解含有字母的一元二次不等式时，需要考虑相应的二次函数的开口方向，对应的一元二次方程根的状况(有时要分析△)，比较两个根的大小,设根为 (或更多)但含参数，要讨论。

48、 十一、数列 本章是高考命题的主体内容之一，应切实进行全面、深入地复习，并在此基础上，突出解决下述几个问题:(1)等差、等比数列的证明须用定义证明，值得注意的是，若给出一个数列的前 项和 ，则其通项为 若 满足 则通项公式可写成 .(2)数列计算是本章的中心内容，利用等差数列和等比数列的通项公式、前 项和公式及其性质熟练地进行计算，是高考命题重点考查的内容.(3)解答有关数列问题时，经常要运用各种数学思想.善于使用各种数学思想解答数列题，是我们复习应达到的目标. ①函数思想:等差等比数列的通项公式求和公式都可以看作是 的函数，所以等差等比数列的某些问题可以化为函数问题求解. ②分类讨论思想:用等比数列求和公式应分为 及 ;已知 求 时，也要进行分类; ③整体思想:在解数列问题时，应注意摆脱呆板使用公式求解的思维定势，运用整 体思想求解. (4)在解答有关的数列应用题时，要认真地进行分析，将实际问题抽象化，转化为数学问题，再利用有关数列知识和方法来解决.解答此类应用题是数学能力的综合运用，决不是简单地模仿和套用所能完成的.特别注意与年份有关的等比数列的第几项不要弄错. 一、基本概念: 数列的定义及表示方法: 2、 数列的项与项数: 3、 有穷数列与无穷数列: 4、 递增(减)、摆动、循环数列: 5、 数列的通项公式an: 6、 数列的前n项和公式Sn: 7、 等差数列、公差d、等差数列的结构: 8、 等比数列、公比q、等比数列的结构: 二、基本公式: 9、一般数列的通项an与前n项和Sn的关系:an= 10、等差数列的通项公式:an=a1+(n-1)d an=ak+(n-k)d (其中a1为首项、ak为已知的第k项) 当d≠0时，an是关于n的一次式;当d=0时，an是一个常数。

49、 1等差数列的前n项和公式:Sn= Sn= Sn= 当d≠0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0;当d=0时(a1≠0)，Sn=na1是关于n的正比例式。

50、 12、等比数列的通项公式: an= a1 qn-1 an= ak qn-k (其中a1为首项、ak为已知的第k项，an≠0) 13、等比数列的前n项和公式:当q=1时，Sn=n a1 (是关于n的正比例式); 当q≠1时，Sn= Sn= 三、有关等差、等比数列的结论 14、等差数列的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、……仍为等差数列。

51、 15、等差数列中，若m+n=p+q，则 16、等比数列中，若m+n=p+q，则 17、等比数列的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、……仍为等比数列。

52、 18、两个等差数列与的和差的数列、仍为等差数列。

53、 19、两个等比数列与的积、商、倒数组成的数列 、 、 仍为等比数列。

54、 20、等差数列的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列。

55、 2等比数列的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列。

56、 22、三个数成等差的设法:a-d,a,a+d;四个数成等差的设法:a-3d,a-d,,a+d,a+3d 23、三个数成等比的设法:a/q,a,aq; 四个数成等比的错误设法:a/q3,a/q,aq,aq3 24、为等差数列，则 (c>0)是等比数列。

57、 25、(bn>0)是等比数列，则 (c>0且c 1) 是等差数列。

58、 四、数列求和的常用方法:公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。

59、关键是找数列的通项结构。

60、 26、分组法求数列的和:如an=2n+3n 27、错位相减法求和:如an=(2n-1)2n 28、裂项法求和:如an=1/n(n+1) 29、倒序相加法求和:30、求数列的最大、最小项的方法: ① an+1-an=…… 如an= -2n2+29n-3 ② an=f(n) 研究函数f(n)的增减性 3在等差数列 中,有关Sn 的最值问题--常用邻项变号法求解: (1)当 >0,d<0时，满足 的项数m使得 取最大值. (2)当 <0,d>0时，满足 的项数m使得 取最小值。

61、 在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。

62、 十二、平面向量 1.基本概念: 向量的定义、向量的模、零向量、单位向量、相反向量、共线向量、相等向量。

63、 2. 加法与减法的代数运算: (1)若a=(x1,y1 ),b=(x2,y2 )则a b=(x1+x2,y1+y2 ). 向量加法与减法的几何表示:平行四边形法则、三角形法则。

64、 向量加法有如下规律: + = + (交换律); +( +c)=( + )+c (结合律); 3.实数与向量的积:实数 与向量 的积是一个向量。

65、 (1)| |=| |·| |; (2) 当 a＞0时， 与a的方向相同;当a＜0时， 与a的方向相反;当 a=0时，a=0. 两个向量共线的充要条件: (1) 向量b与非零向量 共线的充要条件是有且仅有一个实数 ，使得b= . (2) 若 =( ),b=( )则 ‖b . 平面向量基本定理: 若ee2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 ，有且只有一对实数 ， ，使得 = e1+ e2. 4.P分有向线段 所成的比: 设PP2是直线 上两个点，点P是 上不同于PP2的任意一点，则存在一个实数 使 = ， 叫做点P分有向线段 所成的比。

66、 当点P在线段 上时， ＞0;当点P在线段 或 的延长线上时， ＜0; 分点坐标公式:若 = ; 的坐标分别为( ),( ),( );则 ( ≠-1)， 中点坐标公式: . 5. 向量的数量积: (1).向量的夹角: 已知两个非零向量 与b，作 = , =b,则∠AOB= ( )叫做向量 与b的夹角。

67、 (2).两个向量的数量积: 已知两个非零向量 与b，它们的夹角为 ，则 ·b=| |·|b|cos . 其中|b|cos 称为向量b在 方向上的投影. (3).向量的数量积的性质: 若 =( ),b=( )则e· = ·e=| |cos (e为单位向量); ⊥b ·b=0 ( ，b为非零向量);| |= ; cos = = . (4) .向量的数量积的运算律: ·b=b· ;( )·b= ( ·b)= ·( b);( +b)·c= ·c+b·c. 6.主要思想与方法: 本章主要树立数形转化和结合的观点，以数代形，以形观数，用代数的运算处理几何问题，特别是处理向量的相关位置关系，正确运用共线向量和平面向量的基本定理，计算向量的模、两点的距离、向量的夹角，判断两向量是否垂直等。

68、由于向量是一新的工具，它往往会与三角函数、数列、不等式、解几等结合起来进行综合考查，是知识的交汇点。

69、 十三、立体几何 1.平面的基本性质:掌握三个公理及推论，会说明共点、共线、共面问题。

70、 能够用斜二测法作图。

71、 2.空间两条直线的位置关系:平行、相交、异面的概念; 会求异面直线所成的角和异面直线间的距离;证明两条直线是异面直线一般用反证法。

72、 3.直线与平面 ①位置关系:平行、直线在平面内、直线与平面相交。

73、 ②直线与平面平行的判断方法及性质,判定定理是证明平行问题的依据。

74、 ③直线与平面垂直的证明方法有哪些? ④直线与平面所成的角:关键是找它在平面内的射影，范围是 ⑤三垂线定理及其逆定理:每年高考试题都要考查这个定理. 三垂线定理及其逆定理主要用于证明垂直关系与空间图形的度量.如:证明异面直线垂直，确定二面角的平面角，确定点到直线的垂线. 4.平面与平面 (1)位置关系:平行、相交，(垂直是相交的一种特殊情况) (2)掌握平面与平面平行的证明方法和性质。

75、 (3)掌握平面与平面垂直的证明方法和性质定理。

76、尤其是已知两平面垂直，一般是依据性质定理，可以证明线面垂直。

77、 (4)两平面间的距离问题→点到面的距离问题→ (5)二面角。

78、二面角的平面交的作法及求法: ①定义法，一般要利用图形的对称性;一般在计算时要解斜三角形; ②垂线、斜线、射影法，一般要求平面的垂线好找，一般在计算时要解一个直角三角形。

79、 ③射影面积法，一般是二面交的两个面只有一个公共点，两个面的交线不容易找到时用此法?。

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