教育信息：思维过程分析的理论和方法

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小学数学思维过程分析的理论和方法

朱乐平

　　小学数学教学从强调结果到强调思维过程，是数学教育观念的一大转变。这一观念上的转变对加强素质教育，必将产生深远的影响。本文试图对数学思维过程分析的理论和方法作一论述。
　　一、分析小学数学思维过程分析的理论
　　数学思维活动的教学就是要揭示或展现蕴含在学习数学知识中的丰富多彩的思维活动过程。在这个过程中，教师要根据学生的思维特点，通过自己的思维加工，向学生揭示出前人发现问题、分析问题和解决问题的思维过程。使所有的学生品尝发现和创造数学知识的那种“滋味”，体会成功的喜悦和失败的痛楚。
实施数学思维活动的教学就是要使学生明确要解决的主要问题，问题产生的实际背景与过程，涉及的旧知识，得到的新成果（问题的解答）；使用的语言（符号或术语）与方法，得到的新方法；成果（知识与方法）的应用等。数学思维活动教学的目的是要变知识储备型教学为智力开发型教学，变知识型人才的培养为素质型人才的培养。　　基于对数学教学意义的上述认识，笔者认为，数学思维活动教学涉及三种思维活动：前人的思维活动（它或隐或现地存在于课本中），数学教师的思维活动和学生的思维活动。前人的思维活动以教材和教师为媒介对教学过程产生影响，是数学教学活动的隐蔽参加者。这种反映在知识中的成熟的数学思维活动是学生思维活动的楷模。教师通过自己创造性的思维活动，在前人与学生思维活动之间、学生的已有知识与面临的问题之间架设桥梁。揭示前人与学生的数学思维活动过程的能力是数学教师重要的教学素质。成功的数学思维活动教学要实现前人、数学教师与学生三者的思维活动和谐统一，三者思维活动关系如下：

分析数学思维过程是数学教师在教学活动中最重要、最本质的活动。事实上教师平时的备课、上课、改作和辅导等教学过程都是在分析数学的思维过程。
　　备课，从本质上说是在分析数学家、数学教材的作者的数学思维过程，分析学生的思维特征和制定学生学习的“程序”。我们平时说的“理解编者的意图”，就是分析作者的思维过程。我们在教学某一个较抽象的内容时，考虑用直观教具，实质上是在分析学生的思维特征后所确定的。
　　教师在上课时，常常不断地提出问题，学生积极地动脑回答各种各样的问题。教师根据学生回答的内容不断地分析小学生的数学思维活动，达到指导、调节、控制小学生的思维，使得学生的数学思维与成功的数学思维“同步”，从而发展学生的思维能力。并获得数学家数学思维活动的成果（数学知识）。通过这一过程逐步实现学生的思维活动与数学家的思维活动的和谐统一。
　　答疑、改作、辅导等教学活动，从本质上说也是在分析小学生的数学思维过程，帮助学生发现思维过程中的错误，总结思维规律、方法和技巧。
　　二、分析小学数学思维过程的方法。
数学的思维过程可以分为思维的宏观过程和微观过程两类。通常把学生学习某一数学课题（例如６的组成和分解）所经历的思维过程称为思维的宏观过程。本文主要论述小学数学思维微观过程的分析方法。
　　⒈　从数学研究的程序入手分析思维过程：
每一门科学都有自己研究的独特程序，数学也不例外。数学研究的程序通常是：观察→　猜想→验证→证明→应用。即数学的研究从观察开始，仔细地观察现实世界，考察数学的对象，观察到某种事实；然后大胆地进行猜想，初步得到某种结论，再用个别例子对结论加以验证；如果验证表明结论是正确的，那么就进一步考虑理论证明；结论获得理论证明后，就设法推广、应用。这既是数学研究的一般程序，也是数学家思维活动的过程。因此，从数学研究的程序入手可以分析出数学家思维活动的过程。数学教学希望学生的数学思维与这一科学的思维过程同步。因此，分析这一思维过程和小学生的思维特点，就可以制订出比较合理的教学程序。


　例⒈　圆锥体体积公式的教学：



教学开始，出示图１，已知圆柱体的底面积为Ｓ，高为ｈ，求出体积Ｖ＝Ｓｈ；出示图２，比较图２这个几何体与圆柱体的体积的大小，说出为什么图２这个几何体的体积比圆柱体的体积要小？猜测图２这个几何体的体积是圆柱体的几分之几？类似于上述过程，对图３作出猜测。最后出示图４，比较圆锥体的体积与它等底等高的圆柱体体积的大小，并猜测圆锥体体积是圆柱体体积的几分之几？学生作出不同的猜测后，提出问题：怎样才能知道哪个同学的猜测是比较正确的呢？教师拿出空心的圆锥体和与它等底等高的空心圆柱体，用沙或米、水等东西进行度量，验证后得出：圆锥体的体积等于与它等底等高的圆柱体体积的三分之一。然后再加以应用。
　　上述圆锥体体积公式的得出过程，体现了学生观察、比较、猜想、验证等思维过程。过程十分自然，这样的教学程序充分暴露了学生的思维过程，体现了数学研究的一般程序。而这一教学程序的制订是建立在分析数学思维过程的基础之上的。

⒉　从解题方法、解题策略、解题思路入手分析思维过程。
　　学数学离不开解题，对每一类或者每一个数学问题都有着解决这类问题的方法、策略和思路。每一种解题的方法、策略或思路都孕伏着一种思维过程。因此，要分析数学的思维过程可以从解题方法、解题策略、解题思路入手进行分析。
　　数学问题的解题策略是对解题途径的概括性认识。“以退求进”、“正难则反”、“整体入手”等等都是数学中重要的解题策略，每一种解题策略都有自己的思维模式和思维过程。下例是用“以退求进”的策略解决的一个数学问题。
例⒉　右图是一张长方形的纸，在这张纸片的左下方挖去了一个圆形的纸片，
请作出一条直线，把这张长方形纸片分成面积相等的两部分。　 　 　　
解题思维过程：
　①　如果没有挖去小圆形（先后退，从复杂退到简单），那么用
一条直线把长方形分成面积相等的两部分，问题就容易解决。
右图６中，通过长方形对角线交点O（中心）的任意一条直线，
都能把长方形分成面积相等的两部分。
　②　如果单独是一个圆（同时后退），那末通过圆心的任意一条直线
都能把圆分成面积相等的两部分，如图7。
③　题目要求作出的直线是要把长方形和圆同时分成相等的
两部分（再前进，从简单进到复杂），综合上面两种思维过程，
可以得到所要作的直线既要通过长方形的中点，又要通过圆心。
因此，通过这两点的直线必能满足题目的要求。如图８即为所求。
　　这种解题的思维过程正象华罗庚先生所说，是“先足够地退到我们所容易看清楚问题的地方，认透了，钻透了，然后再上去。”
　　解题方法是对解决同一类数学问题而言的。小学数学教材常常用一个例题给出解这一类题的方法。

　解题策略、解题方法是对解决一类数学题而言的，而数学中有许多题目常常有解决它的独特思路。分析数学思维过程可以从分析解决数　学题目的思路入手。解题思路的分析是分析数学思维过程中十分重要的组成部分。

⒊从实验、观察、交谈入手分析数学思维过程。
　　上面分析的是合理的成功的数学思维过程，我们希望学生的思维与这些成功的数学思维同步，但学生原来自己的思维活动是怎样的呢？当他们面对一个数学问题时，又是怎样展开思维的？当我们对学生实施了教学以后，学生又是怎样来理解这些知识的？只有我们与学生在一起，通过实验、观察、与他们交谈才能知道学生在想什么，是怎样在想的，才能了解学生的思维活动、思维过程。
　　学生在刚学习了直线、射线和线段这一内容后，我问学生：直线到底有多长？
　　生１：象黑板那样长。因为老师总是把直线画到黑板上，所以，直线最长也只有黑板那样长。
　　生２：比黑板要长。如果画到操场上就象操场那样长。
　　生３：如果操场很大，那么直线就很长。
　　生４：如果把直线画到地面上，直线就可以更长。老师说过，直线可以向两个方向无限延长。
　　生５：直线不会无限长，因为它没有生命，不能自己长。
　　生６：直线画在地面上，直线也不能无限长，因为地球是一个球体。如果直线无限长，到一定的时候，就会两头接在一起，变成一个圆，那就不再是直线了。
从上面这些学生的不同回答中，我们可以比较清楚地看到，各个学生在理解“直线是无限长的”这一知识时的不同的思维水平。
　　分析数学思维过程就是要“拉长”数学思维活动的过程，通过这个“拉长”产生“慢镜头”，其目的是为了强调思维过程，充分暴露思维过程。小学数学教学要从比较展开的思维向比较压缩的思维过渡。思维的压缩主要指省略了一些思考步骤，简化了一些中间环节。我们还要注意，对同一个数学问题，由于人们考虑问题的角度和原来头脑中储存信息的不同，在解决问题时，常常会有不同的思维过程。
　　人们在解决数学问题时的思维过程是一个复杂的过程。由于直觉思维的存在，我们常常会对自己的思维过程都比较难的作出实事求是的陈述和正确的分析，更不要说对别人的思维过程作出科学的论述。但数学教师在数学教学中的活动又无一不是围绕着分析数学思维过程而展开。这就是我们探讨思维过程分析的现实意义。
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　主要参考书目：
　　⒈张乃达著　《数学思维教育学》　江苏教育出版社
　　⒉任樟辉著　《数学思维论》　广西教育出版社

数学思维的形成和突破
数学教学主要是数学思维活动的教学。学生的逻辑思维能力的发展需要有一个长期的培养和训练过程 。数学教学的思维训练，是根据学生的思维特点，结合教学内容在教学过程中实现的。课堂教学是对学生进行思维训练的主阵地，所以，要把思维训练贯穿于数学教学的各个方面。
激发学生思维动机，理清学生思维脉络，培养学生思维方法，是提高学生思维能力的重要方面。
一、激发学生思维动机
动机是人们“因需要而产生的一种心理反映”，它是人们行为活动的内动力。因此，激发学生思维的动机 ，是培养其思维能力的关键因素。
教师如何才能激发学生思维动机呢？提出问题，创设情境问题"是数学的心脏"，是思维的起点。有问题才会有思考，思维是从问题开始的。巧妙恰当地提出问题，创设良好的思维情境，能够迅速集中学生注意力，激发学生的兴趣和求知欲。这是上好数学思维训练课的首要环节。这就要求教师必须在教学中充分发挥主导作用，根据学生心理特点，教师有意识地挖掘教材中的知识因素，从学生自身生活需要出发，使其明确知识的价值，从而产生思维的动机 。问题的提出，首先要从教材入手，寻找思维素材。其次是通过对教材内容的再加工，设计一些具有疑问性、思维性、说理性、扩散性、等特点的问题，使学生产生认知冲突，进入思维"角色"，成为思维的主体。例如：在教学“分层抽样”这一内容时，首先要使学生明白总体由差异明显的几部分组成时，若平均抽取，则没有注意总体中个体的层次性，故要分层抽样。教学时可设计这样一个问题：为了了解某市800家企业的管理情况，拟抽取40家企业作为样本。这800家企业中有中外合资企业160家，私营企业320家，国有企业240家，其他性质的企业80家。如何抽样较合理？能否在800家中随机抽取40家，能否在中外合资企业、私营企业、国有企业以及其他性质的企业中平均抽取？
这样设计教学既渗透了“知识来源于生活”的数学思想，又使学生意识到学习知识的目的是为了解决生活 和生产中的实际问题。学生的学习动机被激发起来了，自然会全身心地投入到后面的教学活动之中。
可见，创设思维情境，激发学生的思维动机，是对其进行思维训练的重要环节。
二、理清学生思维脉络
认知心理学家指出：“学生思维能力的发展是寓于知识发展之中的。”在教学中，对于每一个问题，既要 考虑它原有的知识基础，又要考虑它下联的知识内容。只有这样，才能更好地激发学生思维，并逐步形成知识脉络。我们教学的关键在于使学生的这种思维脉络清晰化，而理清思维脉络的重点就是抓住思维的起始点和转 折点。
1.引导学生抓住思维的起始点。数学知识的脉络是前后衔接、环环紧扣的，并总是按照发生—发展—延伸 的自然规律构成每个单元的知识体系。学生获得知识的思维过程也是如此，或从已有的经验开始，或从旧知识引入，这就是思维的开端。从学生思维的起始点入手，把握住思维发展的各个层次逐步深入直至终结。如果这 个开端不符合学生的知识水平或思维特点，学生就会感到问题的解决无从下手，其思维脉络就不会在有序的轨道上发展。这里教师要切忌用自己的思维取代学生思维，要正确处理知识与思维的关系，即："已有知识--思维--新知识"。知识是思维的基础，而思维又属于知识的知识。知识有助于思维，但不能取代思维。在这一环节的教学中，要注重学生思维潜力的挖掘，发挥其既是知识的产物、又是知识媒介的双重作用。

例如：在教学“柱体的体积”这一内容时，从学生已有知识基础—长方体的体积入手，把握住长方体的体积与棱柱的体积的关系，即把长方体的体积公式file:///C:/Users/ccy/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image002.gif作为已知事实来运用，而通过前面空间几何体的学习我们知道，长方体是由矩形向某一方向平移得到，类似棱柱（圆柱）可又多边形（圆）沿某一方向平移得到，只要底面积和高都与长方体一样的柱体都与长方体的体积一样。从而将学生的思维很自然地引入file:///C:/Users/ccy/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image004.gif，为 学生扫清了认知上的障碍。
当然，不同知识、不同学生的思维起点不尽相同，但不管起点如何，作为数学教学中的思维训练必须从思 维的“发生点”上起步，以旧知识为依托，并通过“迁移”、“转化”，使学生的思维流程清晰化、条理化、逻辑化。
2.引导学生抓住思维的转折点。学生的思维有时会出现“卡壳”的现象，这就是思维的障碍点。此时教学 应适时地加以疏导、点拨，促使学生思维转折，并以此为契机促进学生思维发展。思维扩展这一环节是知识的形成阶段，属抽象思维的高级阶段。数学教学过程实质上是由一连串的转化过程所构成的。学生接受新知识要借助于旧知识，而旧知识的思维形式往往会成为新知识思维形式的障碍（如思维定势），因此，教师首先要抓好教学过程中数学思想方法的渗透，在数学知识的质变（往往是重点）过程中，帮助学生实现思维活动的转折，排除思维活动的障碍（往往是难点），渡过思维操作的"关卡"，以实现思维发展。学生理性认识过程是由表象的具体到思维的抽象，再由思维的抽象上升到思维的具体的过程。研究数学问题的过程首先是由具体到抽象的过程，在此环节中，将数学问题转化加工为例题形式，使被抽象出来的数学问题再回到实践中去验证，这一阶段是学生的思维定向阶段，是运用思维探索规律学会抽象的过程。但探索研究的关键是学生的参与，思维操作的关键是激励学生进入积极的思维状态。因此，教师要依据学生的思维特征、认知规律，从知识的发生、发展、形成过程中随机设计学生参与的最大开发口，暴露思维过程，让学生多动脑、动手、动口，给学生主动研究、探索、分析、归纳、推理和判断等数学活动的时空。
例如：某种细菌每隔20分钟分裂一次，一个分裂成两个，则经过24小时，一个细菌繁殖的细菌总个数是多少？
学生在思考这道题时，虽然能够准确地判断出这是一个等比数列的问题， 但是，到底是用求和公式还是用通项公式呢，这样，学生的思维出现障碍。教师应及时抓住这个机会，引导学生开拓思路：可以在黑板上画图帮助理解，一个细菌分裂一次分裂成两个细菌，原有的细菌不存在了，依次分裂n次后前面file:///C:/Users/ccy/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image006.gif的细菌都不存在了，于是学生很自然的知道本题用等比数列通项公式解题。老师还可提出若是母牛生小牛又会怎样，抓住这个转折点，有利于克服学生的思维障碍，有利发散思维的培养。
总之，教师帮助学生理清思维脉络，注意思维过程中的起始点和转折点，才是数学教学中思维训练的 重点所在。
三、培养学生思维方法
培养学生思维方法的教学中，注意结合学生的心理特点和认识水平从不同角度、不同层次、不同侧面有目的、有针对性地不断设计组编一些探索型、开放型、判断改错型、归纳与综合型等题目，为学生提供多种类型的思维训练素材，这是发展学生的思维能力所不可缺少的。这要求教师注重挖掘课本典型题例的潜在功能，充分发挥它的导向、典型、发展和教育作用，反复渗透与运用数学思维方法，把数学知识溶入活的思维训练中去，并在不断的"问题获解"过程中深化、发展学生的思维。
１．把知识的教学与思想方法的培养同时纳入教学目的原则。各章应有明确的数学思想方法的教学目标，教案中要精心设计思想方法的教学过程。
２．寓思想方法的教学于完善学生的知识结构之中、于教学问题的解决之中的原则。知识是思想方法的载体，数学问题是在数学思想的指导下，运用知识、方法“加工”的对象。皮之不存，毛将焉附？离开具体的数学活动的思想方法的教学是不可能的。
３．适当章节的强化训练与思想方法反复运用相结合的原则。数学思想方法与数学知识的共存性、数学思想对数学活动的指导作用、被认知的思想方法只有在反复的运用中才能被真正掌握这一教学规律，都决定了成功的思想方法和教学只能是有意识的贯穿全程的教学。特别是有广泛应用性的数学思想的教学更是如此。如数形结合的思想，在数学的几乎全部的知识中，处处以数学对象的直观表象及深刻精确的数量表达这两方面给人以启迪，为问题的解决提供简捷明快的途径。它的运用，往往展现出“柳暗花明又一村”般的数形和谐完美结合的境地。在某种思想方法应用频繁的章节，应适当强化这种思想方法的训练。例如在数学归纳法一节，应精心设计循序渐进的组题，在问题解决中提炼并明确总结联合运用不完全归纳法、数学归纳法解题这一思想方法，在学生能熟练运用的基础上，通过反复运用，才能形成自觉运用的意识。
4．用数学思想指导知识、方法的灵活运用，进行一题多解的练习，培养思维的发散性，灵活性，敏捷性；对习题灵活变通，引伸推广，培养思维的深刻性，抽象性；组织引导对解法的简捷性的反思评估，不断优化思维品质，培养思维的严谨性，批判性。对同一数学问题的多角度的审视引发的不同联想，是一题多解的思维本源。丰富的合理的联想，是对知识的深刻理解，及类比、转化、数形结合、函数与方程等数学思想运用的必然。数学方法、数学思想的自觉运用往往使我们运算简捷、推理机敏，是提高数学能力的必由之路。
综上所述，在数学教学中，有目的、有计划地对学生实施思维训练，有利于提高数学教学质量，有利 于发展学生思维能力，从而全面提高学生的素质