为什么我们需要知道数百万位的素数

质数不仅仅是只能被它们自己和 1 整除的数字。它们是一个数学之谜，自从欧几里得证明它们没有尽头以来，数学家们一直试图揭开这些秘密。

一个正在进行的项目——伟大的互联网梅森素数搜索——旨在发现越来越多的一种特别稀有的素数，最近发现了迄今为止已知的最大素数。扩展到 23,249,425 位数字，它是如此之大，可以轻松填满 9,000 页书页。相比之下，整个可观测宇宙的原子数估计不会超过100位数。

这个数字简单地写成 2⁷⁷²³²⁹¹⁷-1(2 的 77,232,917 次方，减 1)是由一名志愿者发现的，他为这项工作付出了14 年的计算时间。

您可能想知道，如果数字扩展到超过 2300 万个数字，为​​什么我们需要了解它?当然，最重要的数字是我们可以用来量化我们的世界的数字吗?事实并非如此。我们需要了解不同数字的属性，这样我们不仅可以继续开发我们所依赖的技术，还可以确保其安全。

质数保密

素数在计算中最广泛使用的应用之一是 RSA 加密系统。1978 年，Ron Rivest、Adi Shamir 和 Leonard Adleman 结合了一些关于数字的简单已知事实，创建了 RSA。他们开发的系统允许在线安全传输信息(例如信用卡号)。

该算法所需的第一个要素是两个大素数。数字越大，加密越安全。计数数字一、二、三、四等——也称为自然数——显然在这里非常有用。但质数是所有自然数的基石，因此更为重要。

以数字 70 为例。除法显示它是 2 和 35 的乘积。此外，35 是 5 和 7 的乘积。所以 70 是三个较小数字的乘积：二、五和七。这是 70 条路的尽头，因为这些都无法进一步分解。我们已经找到了构成 70 的原始分量，给出了它的质因数分解。

将两个数字相乘，即使非常大，也可能是乏味但简单的任务。另一方面，找到质因数分解非常困难，而这正是 RSA 系统所利用的。

假设 Alice 和 Bob 希望通过互联网秘密通信。他们需要一个加密系统。如果他们第一次见面，他们可以设计一种只有他们自己知道的加密和解密方法，但如果最初的交流是在线的，他们需要首先公开交流加密系统本身——这是一个有风险的业务。

然而，如果爱丽丝选择两个大素数，计算它们的乘积，并公开交流，找出她原来的素数将是一项非常困难的任务，因为只有她知道因数。

所以爱丽丝将她的产品传达给鲍勃，对她的因素保密。Bob 使用该产品来加密他发给 Alice 的消息，该消息只能使用她知道的因素进行解密。如果 Eve 正在窃听，她就无法破译 Bob 的消息，除非她获得了 Alice 的因子，而这些因子从未被传达过。如果 Eve 试图将乘积分解为其主要因素——即使使用最快的超级计算机——也没有已知的算法可以在太阳爆炸之前完成它。

最初的追求

大素数在其他密码系统中也很突出。计算机的速度越快，它们可以破解的数字就越大。对于现代应用程序，测量数百位数字的素数就足够了。与最近发现的巨人相比，这些数字微不足道。事实上，新的质数是如此之大，以至于——目前——计算速度方面的任何可想象的技术进步都不会导致需要将其用于加密安全。甚至有可能由迫在眉睫的量子计算机带来的风险不需要这样的怪物数字来保证安全。

然而，推动最新梅森发现的既不是更安全的密码系统，也不是改进计算机。数学家需要揭开标有“质数”的宝箱内的宝石，为正在进行的探索提供动力。这是一种从数一、二、三开始的原始愿望，并将我们推向研究的前沿。在线商务被彻底改变的事实几乎是一个意外。

著名的英国数学家戈弗雷·哈罗德·哈代 (Godfrey Harold Hardy) 说：“总的来说，纯数学显然比应用更有用。因为最有用的是技术，而数学技术主要是通过纯数学来教授的”。是否会发现巨大的素数，例如第 50 个已知的拥有数百万位数字的梅森素数，是否有用，至少对哈代来说是一个无关紧要的问题。知道这些数字的好处在于解了人类的智力渴求，这种渴求始于欧几里得对质数无穷大的证明，并一直延续到今天。