导读 以色列理工学院和莫斯科物理技术学院 (MIPT) 的 Alexandr Polyanskii 证明了 László Fejes Tóth 的区域猜想

以色列理工学院和莫斯科物理技术学院 (MIPT) 的 Alexandr Polyanskii 证明了 László Fejes Tóth 的区域猜想。1973 年提出，它表示如果一个单位球体被多个区域完全覆盖，它们的组合宽度至少为 π。该证明发表在Geometric and Functional Analysis杂志上，对离散几何很重要，并使数学家能够提出新问题。

离散几何研究点、线、圆、多边形和其他几何对象的组合特性。能装在另一个相同尺寸的球周围的相同尺寸的球的最大数量是多少?在平面中包装相同大小的圆或在包含空间中包装球的最密集方法是什么?这些问题和其他问题由离散几何解决。

此类问题的解决方案具有实际应用。因此，密集打包问题有助于优化编码并纠正数据传输中的错误。另一个例子是四色定理，它说四种颜色足以在球体上绘制任何地图，因此没有两个相邻区域具有相同的颜色。它促使数学家引入对图论很重要的概念，这对于化学、生物学和计算机科学以及物流系统的许多最新发展至关重要。

Tóth 的区域猜想与离散几何中的许多其他问题密切相关，这些问题在 20 世纪解决了用条带覆盖表面的问题。其中第一个是所谓的木板问题，它涉及用平行线界定的条带覆盖圆盘。阿尔弗雷德·塔斯基 (Alfred Tarski) 和亨利克·莫斯 (Henryk Moese) 提供了一个简单的证明，证明这些条带或木板的组合宽度不能超过圆盘的直径。也就是说，没有比用宽度等于圆盘直径的单板覆盖圆盘更好的方法了。Thøger Bang 然后解决了用条带覆盖任意凸体的问题。也就是说，他证明了覆盖一个凸体的条带的组合宽度至少是身体本身的宽度，即覆盖身体的单个条带的最小宽度。

作者解决的问题不同，因为它涉及用特殊构造的区域覆盖单位球体。具体来说，每个区域是球体与某个三维木板的交点，其中木板是包含在相对于球体中心对称的两个平行平面之间的空间区域。或者，可以在测地度量空间中定义区域，而无需求助于木板：单位球体表面上宽度为 ω 的区域是距离大圆或赤道不超过 ω/2 的点的集合，其中点之间的距离测量为连接它们的最短弧线。数学家必须找到覆盖单位球面的这些区域的最小组合宽度。因此，

Jiang 和 Polyanskii 提出的证明受到 Bang 的启发，他通过在物体内形成一组特殊的有限点来解决用条带覆盖物体的问题，其中一个点被认为没有被任何条带覆盖。在某种程度上，Bang 和作者都提出了一个反证。在 Fejes Tóth 猜想的情况下，数学家假设完全覆盖球体的区域的总宽度小于 π，并试图得出一个矛盾——即，找到一个位于球体上但不在任何区域内的点。

作者已经表明，可以在三维空间中形成一组点，以便至少有一个点不被构成区域的木板覆盖。如果这整个集合位于球体内部，则相对容易在球体上绘制另一个也没有被木板覆盖的点，因此也没有被区域覆盖。如果集合中的任何点碰巧位于球体之外，则可以用一个较大的区域替换几个较小的区域，其组合宽度等于较大区域的宽度。因此，可以减少初始问题中区域的数量而不影响它们的组合宽度。最终，球体上未被区域覆盖的点被识别。这与区域的组合宽度小于 π 的假设背道而驰，证明 Fejes Tóth'

完全覆盖球体的区域。五个区域中的每一个都有自己的宽度和颜色。信用：MIPT

这个问题是在 n 维空间中解决的，但作者说这使得它与三维空间的情况没有什么不同。

“40 多年来，Fejes Tóth 的问题一直让离散几何领域的数学家着迷，”MIPT 离散数学系的作者 Alexandr Polyanskii 说。“结果证明这个问题有一个优雅的解决方案，我们很幸运地找到了它。Fejes Tóth 的问题促使我们考虑另一个更基本的猜想，即球体被移动区域覆盖，定义为球体与三维空间的交点不一定是中心对称的木板。”