数学家证明了一个定理可以帮助计算多孔岩中水的运动

RUDN大学的数学家已经证明了分数阶扩散问题的一维解的唯一连续定理。例如，使用这样的方程式来解决颗粒在多孔介质中扩散的问题，例如地下水的渗漏。数学家的工作结果可能导致对解决方案及其数值模拟的更准确分析。在一般情况下，对于其他类别的相似方程式，则没有此类连续定理。该文章发表在《分数微积分和应用分析》杂志上。

该扩散方程是偏微分方程描述颗粒渗透到介质中。其解决方案是一种功能ü的吨和X，这使得在点的颗粒密度X在时间吨。一维扩散方程包含的衍生物ü相对于吨，以及衍生物ü相对于X和的二阶导数ü相对于X。

一维方程也称为热传导方程：热传播可以视为一种扩散形式。在一维分数阶扩散方程中，u相对于t的导数由Caputo分数阶导数代替。如果导数是比率的极限，则分数阶a的Caputo分数阶导数由积分公式确定，其中对于整数值a有衍生工具的标准价值。对于通常的一维扩散方程，可以证明一个连续定理[s]。[/ s]它指出，如果粒子的密度和通量在一个时间间隔内的一个边界点处为零，则没有扩散在考虑中的x和t中。即使是一年级的学生也可以理解这一说法的证据，但是直到最近，分数扩散方程的相似结果还是未知的。

RUDN大学的数学家山本昌宏和他的同事们考虑了任意参数a的一维分数阶扩散方程，其值介于0和1之间。他们设法证明，在分数阶情况下，在相同的情况下，还存在一个连续定理。公式：如果粒子的密度和通量在一个时间间隔内的一个边界点处为零，则没有任何扩散。

证明的想法是这样的：数学家采取一个解决方案，研究其在连续过程中的行为，然后根据参数获得对该解决方案增加的积分估计。从积分估计得出，唯一令人满意的解是零解。对于带有分数导数的相似方程式，没有已知的相似估计。

分数扩散方程式被应用于物理学，数学和计算机科学的各个领域。例如，该方程式描述了颗粒在多孔介质中的扩散。这样的方程已被成功地用来描述地下水中污染排放的行为。这种方程式的另一个应用领域是图像处理。

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