导读 从贝壳的斐波那契螺旋到晶体的周期性，图案在整个自然界和数学中都广泛出现。但是某些数学问题有时会诱使人类求解器看到模式，但是突然之间

从贝壳的斐波那契螺旋到晶体的周期性，图案在整个自然界和数学中都广泛出现。但是某些数学问题有时会诱使人类求解器看到模式，但是突然之间，模式突然消失了。这些虚幻的模式出现在数学的许多领域，其中一个例子来自某些微积分，甚至欺骗了最优秀的数学家。

现在，在一项新研究中，两位物理学家已经使用随机游走的物理学概念来接近这些积分。尽管解决这些积分通常需要大量的精力和创造力，但物理学家已经表明，新方法可以直观地找到解决方案，有时甚至不需要显式计算即可找到解决方案。

法国CNRS巴黎南大学的物理学家Satya N. Majumdar和Emmanuel Trizac在最近一期的《Physical Review Letters》上发表了一篇有关使用随机步行器求解积分的论文。

“我们已经证明，物理洞察力使我们能够在一个自由的计算路取得了丰富好奇的积分，此外，获得(离散的和与积分之间无论是积分，或等式)以前未知的身份，” Trizac告诉物理学。 org。“我们的工作表明，当数学直觉受到欺骗时，物理直觉可能会节省一天的时间。”

Borwein积分中的模式

有问题的积分(见图)以“ Borwein积分”为名，以David和Jonathan Borwein(父亲和儿子)的名字命名，他们在2001年注意到了其中不寻常的模式。Borwein积分涉及Sinc(基数正弦)函数的乘积，具有广泛的应用，例如在光学，信号处理和其他领域。这两个特定的积分可用于计算超立方体的体积。

求解Borwein积分涉及用in代替变量n。每个数字给出一个不同的解值，从而允许数学家观察所得值序列中的模式。例如，对于第一个积分(I n)，当您用数字n = 1-7替代时，每次都会得到答案π。但是，当您到达n = 8时，答案总是比π略小(大约π– 10 -10)。数学家第一次在计算机上计算该值时，他们认为该软件中肯定有错误。但是答案得到了证实，随后的项(n = 9、10等)变得越来越小。

有些模式会持续更长的时间。对于第二个积分J n，序列的前56个项(通过将n替换为1到56获得)均为π/ 2。但57日期限大约是π/ 2-10 -110，以及随后的条款继续减少。(情况可能变得更加极端：对于Borwein积分的一个变体(此处未讨论)，恒定值模式适用于惊人的序列的前10 176个项，此后该模式最终破裂。)

数学家可以解释为什么这些模式突然中断，至少在数学上如此。请注意，以上两个Borwein积分都包含函数sinc(a n k)，其中a n = 1 /(2n-1)。如果用数字1、2、3，...代替n在此表达式中，您将获得序列1，1/3，1/5，1/7，1/9，...。鲍尔文人注意到，第一个项1不仅比后面的所有其他项还大，而且甚至比接下来的几个项的总和还大-确切地说，第二个至第七个项等于1 / 3 + 1/5 + 1/7 + 1/9 + 1/11 + 1/13 = 0.955…，小于1。但是，将第八项1/15加到该总和上，得出的答案是1.02 …，正好在1之上。事实证明，第七项是积分求和为π的最后一项，而第八项是模式破裂的点，这并非巧合。

Borweins证明了一个定理(见图)，用更笼统的术语表述了这个想法。该定理也适用于第二积分J n。由于属性cos(a)sinc(a)= sinc(2a)，考虑到J n中的余弦函数，将以上表达式更改为2 /(2n-1)，因此第一项是2而不是1。由于第二通56之第表达而言是小于2，但添加57个术语推动超过2之和，则定理成立。

随机步行者

尽管该定理有助于解释Borwein积分的临时模式何时破裂，但是尚不清楚为什么该定理首先成立。

在新论文中，Majumdar和Trizac通过将定理与概率论和统计力学中一些易于理解的概念联系起来，从而为定理提供了一些物理上的直觉。他们注意到，定理中的积分与均匀概率分布密切相关，均匀概率分布在整个科学中得到了广泛使用。具体来说，均匀概率分布的傅立叶变换恰好是Sinc函数，从而产生n = 1的Borwein积分。此连接将Borwein积分桥接到物理世界，因此通过使用相关参数，跟随a的事件均匀分布可用于对Borwein积分的求解序列建模。

为了在更实际的环境中描述这种联系，研究人员研究了随机助行器。随机助步器是一个抽象对象，它可以在任何方向上移动一定距离，其中可以从连续的值区间中随机选择确切的距离，并且每个值的选择可能性均等(即，遵循均匀分布)。随机步行者可以准确地对各种随机现象进行建模，例如股票市场价格，觅食动物的路径以及气体中分子的路径，它们分别以一维，二维或三维出现。

在新论文中，物理学家表明，无数个随机助步器的运动可用于模拟Borwein积分中模式的出现和消失。首先，所有随机游走者都从一维数字线上的零点开始。第一步，允许每个助行器向左或向右移动最多1个单位的随机距离。对于第二步，每个步行者可以移动最多1/3的随机距离，然后最多移动1/5，然后1 / 7、1 / 9等的随机距离。也就是说，每个连续的允许步距对应到表达式1 /(2n-1)的下一个值。

主要问题是，每个时间步长之后起点(起点)处的随机游走者所占的比例是多少?事实证明，在每个时间步长n处，原点的助行器分数(更确切地说是概率密度)对应于使用相同n值的Borwein积分的解。

正如物理学家所解释的那样，对于前七个步骤，助步器在原点处终止的概率密度始终为1/2，根据上面的定理，该概率密度对应于π的整数值。关键的想法是，直到现在，原点的步行者的密度与整个数字线均匀地填充有步行者的密度是相同的。实际上，由于限制了每一步的最大距离，因此只能访问数字线的一部分，即步行者的世界是有限的。

但是，对于前七个步骤，原点的步行者会感觉到他们的世界是无限的，因为他们没有关于边界存在的任何信息，这些信息会表明世界是有限的。这是因为到达最大范围(第一步之后为+1或-1)的步行者，即使采取最大尺寸，也都无法以不到七步的速度回到起点允许的步骤，所有步骤都朝着起点。由于这些助行器出现在第八步之前的起点的可能性为零，因此它们不会影响随机助行器在起点的分数。因此，对于前七个步骤，原点的助行器密度固定为½(“受保护”)。

但是一旦到达+1或-1的步行者返回原点，情况就会改变。第八步之后，其中一些步行者可能会返回起点。现在，这些步行者充当“信使”，就意味着他们回到起点揭示了边界的存在，告诉起点的其他步行者他们的世界是有限的，因此影响了起点的步行者的密度。

由于这些信使步行者已经回到起点，因此很明显，其他一些到达边界的步行者没有使它返回，而是可能继续走得更远。结果，概率分布变得更加分散，导致原点的助行器分数逐渐从½(或π为积分)逐渐减小。正是这种侵蚀解释了为什么在n≥8时第一个Borwein积分的值会如此小幅下降。第二个Borwein积分也有类似的论点(参见视频)。

通过将Borwein积分与随机步行者的概率联系起来，新结果提供了与直接计算相比完全不同的方法来求解这些积分。物理学家表明，除了此处描述的两个积分，相同的方法还可以应用于许多其他积分，包括扩展到更高的尺寸。研究人员期望这种方法有可能为许多其他积分提供免计算的解决方案，而这些积分否则很难解决。

特里扎克说：“随机行走问题及其无限后果构成了现代物理学的基石之一，在物理学，化学，生物学，工程学等领域具有广泛的应用。” “由于我们引人入胜的积分涉及随机游走理论的基本概念，因此我们期望在不久的将来可以使用我们的关键思想来推导具有实际应用的新的恒等式和积分。”